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Willkommen auf der Webseite der Vorlesung "Eichtheorie" im Wintersemester 2019/20.

In der Theoretischen Physik beschreiben Eichtheorien Materiefelder mit internen Freiheitsgraden. Das wichtigste Beispiel eines solchen internen Freiheitsgrades ist der Spin des Elektrons. Die Wellenfunktion eines solchen Materiefeldes hängt von den internen Freiheitsgraden ab; um sie zu einer "echten" Wellenfunktion zu machen, wird eine sogenannte Eichung gewählt. Die physikalischen Eigenschaften des Materiefeldes werden durch ein Wirkungsfunktional für die Wellenfunktion vorgegeben. Dieses soll aber nicht von der Eichung abhängen, also eich-invariant sein. Die Eich-Invarianz wird erreicht durch das Hinzufügen eines neuen Feldes, des Eichfeldes. Im Falle des Elektrons mit Spin ist z.B. das Eichfeld das übliche Vektorpotential der Elektrodynamik. Es ergibt sich ein schönes und schlüssiges Bild der Kopplung des Elektrons an das elektromagnetische Feld; dieses Bild wurde Anfang des 20. Jahrhunderts von Weyl und Dirac entwickelt. Das heute aktuelle Standardmodell der Elementarteilchenphysik kombiniert mehrere verschiedene Eichtheorien miteinander; und auch Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Eichtheorie. Darüber hinaus treten viele Aspekte des eichtheoretische Formalismus auch in der Festkörperphysik auf. In der Reinen Mathematik konnten durch Eichtheorie einige spektakuläre Erfolge erzielt werden, insbesondere bei der Klassifikation 4-dimensionaler Mannigfaltigkeiten durch Seiberg-Witten-Invarianten.

In dieser Vorlesung wollen wir die mathematischen Grundlagen von Eichtheorien verstehen. Dabei handelt es sich um die Theorie von Mannigfaltigkeiten, Lie-Gruppen, Hauptfaserbündeln und sogenannten Zusammenhängen. Darüber hinaus wollen wir verstehen, wie diese mathematischen Strukturen in der physikalischen Theorie angewendet werden. Je nach Zusammensetzung der Zuhörerschaft können wir flexibel bekannte Dinge überspringen oder noch unbekannte Dinge besprechen. Kenntnisse über Physik werden nicht vorausgesetzt; allerdings wären einschlägige Kenntnisse Linearer Algebra und Analysis gut.