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Willkommen auf der Webseite der Vorlesung "Algebra I" im Wintersemester 2018/19.

Das Wort "Algebra" kommt aus der arabischen Sprache und bedeutet das "Lösen von Gleichungen". Dabei geht es vor allem um polynomiale Gleichungen, wie z.B. folgende Gleichung vierten Grades:

x4 + 5x3 - 2x2 + 3x + 4=0.

Um quadratische Gleichungen zu lösen, lernt man in der Schule die berüchtigte "p-q-Formel". Oft hört man auch, dass es schon für Gleichungen dritten Grades keine Lösungsformeln gibt, und man zuerst eine Nullstelle raten muss. Das ist aber nicht richtig; für Gleichungen dritten Grades, und sogar Gleichungen vierten Grades wie die obige gibt es Lösungsformeln, die im 16. Jahrhundert gefunden wurden. Zu dieser Zeit war lange nicht bekannt, ob es auch Lösungsformeln für Gleichungen höherer Grade gibt. Erst 1830 konnte Evariste Galois mithilfe von Gruppentheorie beweisen, dass es keine solchen Formeln gibt. In der Vorlesung Algebra I werden wir diese heutzutage als Galois-Theorie bekannte Kombination aus Gruppentheorie, Körpertheorie und Polynomen kennenlernen.

Als eine weitere Anwendung von Galois-Theorie werden wir uns mit den ebenfalls aus der Schule bekannten Konstruktionen mit Zirkel und Lineal beschäftigen. Auch hier gibt es offensichtliche Fragestellungen, die nicht offensichtlich beantwortet werden können. Als Beispiele besprechen wir die Quadratur des Kreises, der Winkeldreiteilung, und der Konstruktion regelmäßiger n-Ecke.



Die Anwendung der Galois-Theorie auf polynomiale Gleichungen und Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ist ein Musterbeispiel für das Funktionieren von Mathematik: es liegt ein konkretes, leicht verständliches Problem vor, das aber nicht elementar, sondern nur durch eine tiefgreifende, abstrakte Theorie gelöst werden kann. Die Algebra-Vorlesung ist einzigartig in dem Sinne, dass der Kontrast zwischen der Einfachheit der Anwendung und der Abstraktheit der Theorie in wahrscheinlich keiner anderen Vorlesung in so extremem Maße auftritt.