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Willkommen auf der Webseite der Vorlesung "Topologie" im Sommersemester 2018.

Die Topologie ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie erforscht die Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, wobei der Begriff der Stetigkeit durch die Topologie in sehr allgemeiner Form definiert wird. Topologie ist besonders wichtig für die Geometrie, die Analysis, die Funktionalanalysis und die Theorie von Lie-Gruppen.

Auch außerhalb der Mathematik bestehen vielfältige Anwendungen von Topologie: in der Physik (Feldtheorien, Halbleiter, Magnetspeicher), in der Informatik (Datenanalyse), in der Biologie (Morphogenese, neuronale Netzwerke), und angeblich sogar in der Volkswirtschaftlehre (Wohlfahrtsökonomik).

Der grundlegende Begriff in der Topologie ist der des topologischen Raums, welcher eine Abstraktion der Vorstellung von "Nähe" darstellt und damit weitreichende Verallgemeinerungen mathematischer Konzepte wie Stetigkeit und Grenzwert erlaubt. Viele mathematische Strukturen lassen sich als topologische Räume auffassen. Topologische Eigenschaften einer Struktur sind solche, die durch "Verformungen" nicht verändert werden. Dazu gehört in anschaulichen Fällen das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren und Verdrillen einer geometrischen Figur. Zum Beispiel sind eine Kugel und ein Würfel aus Sicht der Topologie nicht zu unterscheiden; sie sind "homöomorph". Ebenso sind ein Donut und eine ein-henkelige Tasse homöomorph. In dieser Vorlesung werden wir Möglichkeiten kennenlernen, diese und andere Fragen zu entscheiden und in gewisser Weise algebraisch zu berechnen.

Begleitend zur Vorlesung bietet Frau Prof. Kath ein Seminar "Topologie" an, in dem die Vorlesungsthemen weiter vertieft werden können. Im folgenden Wintersemester ist ein Seminar "Topologische Datenanalyse" geplant, welches auf dieser Vorlesung aufbauen wird.